Оглавление

Как работает калькулятор магнитного поля

Данный калькулятор позволяет рассчитывать ЭДС на диске Фарадея. Расчеты основаны на аналитических решениях, полученных из научных статей "Analytical Calculation of the Magnetic Field Created by Permanent-Magnet Rings" и "Full analytical solution for the magnetic field of uniformly magnetized cylinder tiles".

Все расчеты проводятся с использованием высокоточной математической библиотеки bignumber.js для минимизации ошибок округления.

По вопросам работы калькулятора и его использования пишите timur.vasilyev812@gmail.com или /t.me/nbv_123

1. Расчет ЭДС (Электро Движущая Сила)

Конечная цель — это вычисление ЭДС, индуцированной во вращающемся проводящем диске в магнитном поле. ЭДС рассчитывается на основе полного магнитного потока через диск и его угловой скорости вращения:

$$\mathcal{E} = \frac{\omega \cdot \Phi}{2\pi}$$
Обозначение Описание СИ
$\mathcal{E}$ Электро Движущая Сила (ЭДС) В
$\omega$ Угловая скорость вращения диска рад/с
$\Phi$ Полный магнитный поток через площадь диска Вб
$2\pi$ Коэффициент для преобразования оборотов в радианы -

Эта формула представляет собой расчет ЭДС во вращающемся диске.

2. Расчет магнитного потока ($\Phi$)

Для расчёта ЭДС необходимо знать магнитный поток $\Phi$. Магнитный поток через вращающийся диск вычисляется путем численного интегрирования аксиальной компоненты магнитной индукции $B_z$ по всей площади диска. Это необходимо, поскольку $B_z$ может изменяться в зависимости от расстояния от центра магнита:

$$\Phi = \int_0^{R_{диска}} B_z(r, z_{\text{obs}}) \cdot 2\pi r \, dr$$
Обозначение Описание СИ
$\Phi$ Магнитный поток Вб
$R_{диска}$ Радиус диска м
$B_z(r, z_{\text{obs}})$ Аксиальная компонента магнитной индукции в точке на высоте $z_{\text{obs}}$ Тл
$r$ Радиальная координата м
$z_{\text{obs}}$ Высота, на которой находится диск м
$dr$ Дифференциал по радиусу м
$2\pi r \, dr$ Дифференциал по площади кольца $\text{м}^2$

3. Расчет магнитной индукции $B_z$

Для расчета магнитного потока нам нужна аксиальная компонента магнитной индукции $B_z$. Она получается из напряженности магнитного поля $H_z$ путем умножения на магнитную постоянную:

$$B_z = \mu_0 \cdot H_z$$
Обозначение Описание СИ
$B_z$ Аксиальная компонента магнитной индукции Тл
$\mu_0$ Магнитная постоянная Тл·м/А
$H_z$ Аксиальная компонента напряженности магнитного поля А/м

Это фундаментальное соотношение между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля в вакууме.

4. Расчет напряжённости поля $H_z$ для цилиндрического магнита

Вычисление аксиальной компоненты напряженности магнитного поля $H_z$ для сплошного цилиндрического магнита с равномерной намагниченностью является ключевым для определения поля магнита в любой точке пространства.

Основано на статье:

[2] R. Ravaud & G. Lemarquand, "Full analytical solution for the magnetic field of uniformly magnetized cylinder tiles," IEEE Transactions on Magnetics, 2016.

4.1. Входные параметры:

Для расчета $H_z$ нам потребуются следующие параметры магнита и точки наблюдения:

4.2. Общая формула для $H_z$

$$H_z(r_{obs}, z_{obs}) = \frac{1}{4\pi} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^2 (-1)^{i+j+k} \cdot \left( M_r \cdot F_{z,r} + M_\phi \cdot F_{z,\phi} + M_z \cdot F_{z,z} \right)$$
Обозначение Описание СИ
$H_z$ Аксиальная компонента напряженности магнитного поля А/м
$r_{obs}, z_{obs}$ Координаты точки наблюдения м
$i, j, k$ Индексы суммирования по границам магнита -
$(-1)^{i+j+k}$ Знаковый коэффициент -
$M_r, M_\phi, M_z$ Компоненты вектора намагниченности А/м
$F_{z,r}, F_{z,\phi}, F_{z,z}$ Функции вклада каждой компоненты намагниченности в $H_z$ -

Разбор составляющих:

4.3. Параметры для эллиптических интегралов и базовые функции

4.3.1. Параметр $k^2$ для эллиптических интегралов:

$$k^2 = \frac{4 r \cdot r'}{r^2 + r'^2 + (z - z')^2 - 2rr' \cos(\phi - \phi')}$$
Обозначение Описание СИ
$k^2$ Параметр для эллиптических интегралов -
$r, r'$ Радиальные координаты точки наблюдения и границы магнита м
$z, z'$ Аксиальные координаты точки наблюдения и границы магнита м
$\phi, \phi'$ Азимутальные углы точки наблюдения и границы магнита рад

4.3.2. Полные эллиптические интегралы $K(k^2)$ и $E(k^2)$ (численное интегрирование):

Эти интегралы рассчитываются численно с использованием адаптивного интегрирования (методом Симпсона).

$$K(k^2) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}}$$ $$E(k^2) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)} d\theta$$
Обозначение Описание СИ
$K(k^2)$ Полный эллиптический интеграл первого рода -
$E(k^2)$ Полный эллиптический интеграл второго рода -
$k^2$ Параметр для эллиптических интегралов -
$\theta$ Переменная интегрирования рад

5. Расчет напряжённости поля $H_r$ для цилиндрического магнита

Радиальная компонента напряженности магнитного поля $H_r$ для сплошного цилиндрического магнита с равномерной намагниченностью вычисляется аналогично $H_z$, используя ту же общую формулу:

$$H_r(r_{obs}, z_{obs}) = \frac{1}{4\pi} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^2 (-1)^{i+j+k} \cdot \left( M_r \cdot F_{r,r} + M_\phi \cdot F_{r,\phi} + M_z \cdot F_{r,z} \right)$$
Обозначение Описание СИ
$H_r$ Радиальная компонента напряженности магнитного поля А/м
$r_{obs}, z_{obs}$ Координаты точки наблюдения м
$i, j, k$ Индексы суммирования по границам магнита -
$(-1)^{i+j+k}$ Знаковый коэффициент -
$M_r, M_\phi, M_z$ Компоненты вектора намагниченности А/м
$F_{r,r}, F_{r,\phi}, F_{r,z}$ Функции вклада каждой компоненты намагниченности в $H_r$ -

Разбор составляющих:

5.1. Расчет напряжённости поля $H_\phi$ для цилиндрического магнита

Азимутальная компонента напряженности магнитного поля $H_\phi$ для сплошного цилиндрического магнита с равномерной намагниченностью вычисляется аналогично $H_z$ и $H_r$, используя ту же общую формулу суммирования:

$$H_\phi(r_{obs}, z_{obs}) = \frac{1}{4\pi} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^2 (-1)^{i+j+k} \cdot \left( M_r \cdot F_{\phi,r} + M_\phi \cdot F_{\phi,\phi} + M_z \cdot F_{\phi,z} \right)$$
Обозначение Описание СИ
$H_\phi$ Азимутальная компонента напряженности магнитного поля А/м
$r_{obs}, z_{obs}$ Координаты точки наблюдения м
$i, j, k$ Индексы суммирования по границам магнита -
$(-1)^{i+j+k}$ Знаковый коэффициент -
$M_r, M_\phi, M_z$ Компоненты вектора намагниченности А/м
$F_{\phi,r}, F_{\phi,\phi}, F_{\phi,z}$ Функции, описывабщие влияние каждой компоненты намагниченности на $H_\phi$ -

Разбор составляющих:

6. Расчет поля кольцевого магнита

Расчет магнитного поля для аксиально и радиально намагниченных кольцевых магнитов основан на работе:

[1] R. Ravaud, G. Lemarquand, V. Lemarquand, C. L. Depollier, "Analytical Calculation of the Magnetic Field Created by Permanent-Magnet Rings," IEEE Transactions on Magnetics, vol. 44, no. 8, pp. 1982-1989, 2008.

6.1. Аксиально намагниченное кольцо ($M_z \ne 0, M_r = 0$)

В этом случае рассматривается аксиальная составляющая намагниченности $M_z$.

6.1.1. Аксиальная компонента $H_z$ в точке $(r, z)$ для аксиально намагниченного кольца:

$$H_{z}(r,z)=\frac{M}{4\pi}(\gamma(\theta_{2})-\gamma(\theta_{1}))$$
Обозначение Описание СИ
$H_z$ Аксиальная компонента напряженности магнитного поля А/м
$M$ Намагниченность магнита (вдоль оси Z) А/м
$\gamma(\theta)$ Комплексная функция, зависящая от геометрии и включающая эллиптические интегралы третьего рода. -
$\theta_1, \theta_2$ Параметры, связанные с границами кольца. рад

Эта формула является Уравнением (9) из статьи [1] и реализована в ring_axial.js.

6.1.2. Общая форма функции $\gamma(\theta)$:

$$ \gamma(\theta) = h_1(\theta) \cdot \eta_1(\theta) \cdot \Pi^*(n_1, \phi_1, m_1) \\ + h_2(\theta) \cdot \eta_1(\theta) \cdot \Pi^*(n_2, \phi_1, m_1) \\ + h_3(\theta) \cdot \eta_2(\theta) \cdot \Pi^*(n_3, \phi_2, m_2) \\ + h_4(\theta) \cdot \eta_2(\theta) \cdot \Pi^*(n_4, \phi_2, m_2) $$
Обозначение Описание СИ
$\gamma(\theta)$ Комплексная функция -
$h_i(\theta), \eta_i(\theta)$ Комплексные вспомогательные функции, специфичные для каждого из четырех слагаемых в $\gamma(\theta)$. -
$\Pi^*(n, \phi, m)$ Неполный эллиптический интеграл третьего рода (с комплексными параметрами) -
$n_i, \phi_i, m_i$ Комплексные параметры для эллиптических интегралов. -

Эта развернутая форма функции $\gamma(\theta)$ подробно описана в статье [1] (формула 10) и используется в расчетах аксиальных кольцевых магнитов.

7. Компоненты H-поля

В данном калькуляторе для цилиндрических магнитов используются цилиндрические компоненты $H_r, H_\phi, H_z$.

8. Перевод остаточной индукции в намагниченность

Связь между остаточной магнитной индукции $B_r$ и $M$ в вакууме (или немагнитном материале) следующая:

$$M = \frac{B_r}{\mu_0}$$
Обозначение Описание СИ
$M$ Величина намагниченности А/м
$B_r$ Остаточная индукция Тл
$\mu_0$ Магнитная постоянная вакуума Гн/м (или Тл·м/А)

Где $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ Тл·м/А.

9. Адаптивное численное интегрирование

Для вычисления эллиптических интегралов и других интегральных выражений, используемых в аналитических решениях, применяется адаптивное численное интегрирование.